公众号【机器学习炼丹术】资料

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在SVM中,将约束问题转化成非约束问题采用到了拉格朗日乘子法。这个文章就讲一下拉格朗日乘子法与KKT约束是怎么回事。本人不是数学科班出身,但是也只能硬着头皮讲一讲了。

从零理解

现在我们要解决这样一个问题:
(x^2y=3)
这个函数距离原点最近的距离是多少。

先画出函数图像:
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然后想求出最短距离:
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这里的思路就是,做一个以原点为中心的圆形:
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不断扩大圆形的半径,直到圆与蓝色的曲线相切:
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现在。第一次与(x^2y=3)相交的点就是距离原点最近的那个点:
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这个,圆形与曲线相切,且切线既是圆形的切线,也是曲线的相切。
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这时候,这个切线的垂线其实也就是我们所说的梯度,也叫做等高线的法线,看下面两个图可能会好理解一些:
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那么这个梯度怎么计算呢?先看圆形(f(x,y)=x^2+y^2)的梯度:
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再看曲线的梯度计算(g(x,y)=x^2y)的梯度:
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在相切的时候,两者的梯度方向都在同一条直线上,可以称之为,成比例,这里用比例系数(lambda)来表示:
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所以我们汇总一下所有的已知信息,得到下面的方程组:
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可以求解得到:
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这个就是拉格朗日乘子法的直观理解。

抽象成数学的形式

我们要解决的问题:
(min {x^2+y^2})
(s.t. x^2y=3)

我们会将约束问题通过拉格朗日乘子法转换成非约束问题:
(min F(x,y)={x^2+y^2+lambda(x^2y-3)})

为什么可以这样呢?】
如果求极值,偏导数为0。先对上面的公式进行求偏导数:
(frac{partial F(x,y)}{partial x}=2x+lambda 2xy=0)
(frac{partial F(x,y)}{partial y}=2y+lambda x^2=0)

这两个等式与这个等价,唯一的不同就是(lambda)一个是正数一个是负数:
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当然,对于(x^2y-3=0)这个条件,我们也可以写成(frac{partial F(x,y,lambda)}{partial lambda}),所以,可以得到这样的一个方程组:
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KKT条件

  • KKT的英文全称:Karush-Kuhn-Tucker

之前的拉格朗日的约束条件是等值的,现在可以通过KKT条件推广到不等式。因为限制条件往往是不大于,小于这样的不等式,所以KKT才是拉格朗日化约束问题为非约束问题的关键。

对于不等式问题,就是有两种情况:

  • 可行解在g(x)<0;
  • 可行解在g(x)=0。

可行解在g(x)<0,就表示这个约束条件并没有起到约束效果,有根没有事一个效果(下图中的左图);可行解g(x)=0,就表示这个约束条件起到作用了,这就表示g(x)与f(x)相切,也就是下图中右边的图。

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【g(x)<0的情况】
这种情况下,就是没有限制条件下的情况,其实就是没有约束条件的限制,也就是(lambda=0)的情况,所以我们的等式就是直接求解:
(Delta f(x)=0)

【g(x)=0的情况】
如果是g(x)=0的情况,那也就是约束条件起到作用了,也就意味着(lambda>0)。在这种情况下,存在着:
(Delta f(x) = -lambda Delta g(x))
并且两个函数的扩张的方向相反,所以表明两个g(x)和f(x)的梯度一个是正数,一个是负数。所以这个表示(lambda>0)

所以综上所述,在这种情况下,我们所有的条件综合起来可以得到,其中(x^*)就是最优解:

  • (lambda >=0)
  • (lambda g(x^*)=0)
  • $ g(x^*) <= 0$

这三个就是KKT条件。

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