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小超说 如何理解与实现最小生成树呢?Prim算法与Kruskal算法背后的思想又是怎么样的呢?一起来探索吧~

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这是图算法的第四篇文章 图解:如何实现最小生成树

文章目录:

  • 1.概念和性质
  • 2.思路探索
  • 3.Kruskal算法
  • 4.Prim算法
  • 5.代码实现

1.概念和性质

今天我们考虑的模型是加权无向图,问题是如何获取它的一幅最小生成树!首先,我们给出最小生成树的定义:

图的生成树是它的一棵含有其所有顶点的无环连通子图。一幅加权图的最小生成树(MST)是它的一棵权值(树中所有边的权值之和)最小的生成树。

如图所示:

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首先,我们给出一些约定来简化问题(这并不会影响我们理解问题)

  • 只考虑连通图(如果不连通的话是不存在最小生成树的)
  • 边的权重可能是0或者负数
  • 所有边的权重各不相同(我们给出这个假设之后对于一幅图来说只存在唯一的最小生成树,这样方便我们理解,但是如果把这个限制条件去掉,我们之前得到的算法依然有效😎)

简而言之,我们的讨论对象是一幅权重各不相同的加权无向图,任务是求最小生成树的每条边。接下来,我们一起思考如何实现这个算法!

2.思路探索


1)我们的任务是求得最小生成树的每条边,也就是我只要确定了这些边,自然而然也就唯一确定了最小生成树;那么,一棵最小生成树有多少条边呢?我们先来回顾一下的两个性质:

  • 用一条边连接树中的任意两个顶点都会产生一个新的环
  • 从树中删去一条边将会得到两棵独立的树

因为一共有V个顶点,生成树的边恰好连接所有顶点(不多不少),所以生成树必定有V-1条边。好了,恭喜你!🙃到这里我们已经前进了一小步!

2)接下来,我说一句话你看是不是对的:

只要找到属于最小生成树的V-1条边(无论什么手段),也就解决了这个问题

你肯定会说,这不是显然的吗?对!但这个是我们向前走的基本思想。记牢了🤓

3)接下来,我们就要寻找一种条件,只要一条边满足这个条件,那么我们就能够断言这条边肯定在最小生成树中。一旦存在,我们就可以通过创造这种条件找到属于最小生成树的边,将它标记;反复创造上述条件,就可以反复地标记边;直到我们标记了V-1条边! 你是不是惊奇地发现:我们已经成功地解决了这个问题!

4)我们的任务变成了如何寻找与制造这种条件。站在巨人的肩膀上,我们只需要理解就行了😂。这个条件,我们称之为切分定理

6)我们随意将一幅加权图分为两个非空的集合,横跨两个集合的一条边被称为横切边。而横切边中最短的那个必定属于最小生成树! 如图所示:

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所有的灰色顶点是一个集合,所有的白色顶点是另外一个集合,横跨两个集合的所有的边称为横切边(用红色标出);其中权重最小的横切边必定属于最小生成树!

这个定理其实很容易想明白,因为这两个集合之间必须要存在且只能存在一条边;如果存在的不是这条最短横切边,那它就不是最小生成树了!请注意一条很重要的性质:这种划分是任意的!
——————我们随便怎么划分都无所谓!这就为处理问题带来了很强的灵活性!

7)我们随后介绍一种通用的算法思想:贪心算法(其实我们在前文已经接触过)。

使用切分定理找到最小生成树的一条边,不断重复直到找到最小生成树的所有边V-1条即可)

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这是一幅贪心算法的执行过程,每次都是将所有顶点分成两个集合(注意:这是任意的!!),然后取最小的横切边加入最小生成树。如此反复,最终就达到了我们的目的!

8)接下来再往后,我们将真正地实现这种算法,而不是只停留在思想上(talk is cheap,show me the code!😍)

  • Kruskal算法
  • Prim算法地两种形式

3.Kruskal算法

1)我们接着刚才的思路继续,我们面临着两个问题:切分找到最小横切边;对于切分,由于是随意的,所以还是很容易实现的;另一个问题:怎样很自然地找到最小的横切边呢?

2)一个比较容易想到的解决方案是:

按照边的权重顺序(从小到大)处理他们;
首先,将最小的边加入最小生成树,然后从小到大依次加入边,(注意:待加入的边不能和已经加入的边构成环);一直重复上述过程直到树中含有V-1条边为止

3)现在我们仔细思考一下这个方法。只要待加入的边和已经加入的边没有构成环,就说明这条边是一条横切边,同时,得益于我们加入的顺序(从小到大),我们可以确定这条待加入的边是最小横切边,那么它一定属于最小生成树,将它加入也就没有什么毛病了。来看一下下面的过程:

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我们在实现的时候使用了一条优先队列来将边按照权重排序;用前几篇文章中实现的判断无向图连通性的类判断是否连通;用一条队列来保存最小生成树的所有边;就可以很容易实现Kruskal算法

4.Prim算法

Prim算法的思想与Kruskal算法乍一看有所不同,但是最终你会发现,只是在寻找最小权重的横切边这里使用了不同的 策略罢了。

1)我们考虑这样一种方案:维护一棵生长中的树

  • 初始化:将一个顶点(随意,记为A)添加到最小生成树中
  • 找到与最小生成树相连的权重最小的一条边(一个顶点在树中,一个顶点不在),并将这条边和相应的顶点加入到最小生成树中
  • 重复上述操作,直到所有顶点都被添加

2)这个过程比Kruskal更加简明——————与最小生成树相连的权重最小的一条边;我们把已经在树中的点记为集合A,所有没有在树中的顶点记为集合B,显然我们选择的那条边就是最小横切边!

3)虽然过程比较简明,但是实现的代码却不简单,我们需要:

  • 顶点。使用一个由顶点索引的布尔数组 marked[],如果顶点 v 在树中,那么 marked[v] 的值为true
  • 边。使用一条队列mst来保存最小生成树中的边
  • 横切边:使用一条优先队列 MinPQ<Edge> 来根据权重比较所有边

具体的操作过程如下:

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4)到这儿,我们已经实现了Prim算法,它被称为 Prim算法的延时实现 ;但是,还有可以改进的地方,我们可以通过一些改进————删除一些冗余的信息,从而得到Prim算法的即时实现

5)但是,在这篇文章中,我们就不加以介绍了;它的思想和延时实现一致,目标同样是找到与最小生成树相连的权重最小的一条边,只不过实现方法更加灵活罢了!

5.代码实现

这次和往常不同,我并没有在文章中间掺杂算法的具体实现,我的想法是把它真正的思路讲明白(希望我讲的没有让你失望🤔);但是,代码还是要有的,我将它们放在了这里,具体来说书籍算法4上面都有!!

  • 如何实现一个加权边
  • 如何实现加权无向图
  • Kruskal算法的实现
  • Prim算法的实现

如何实现一个加权边
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如何实现加权无向图
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Kruskal算法的实现
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Prim算法的实现(两张图片)
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6.后记

码字绘图不易,如果觉得本文对你有帮助,还请不要白嫖,
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